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Continuité sur R.
Continuité de la fonction inverse.
mercredi 8 juin 2016, par
Soit .
Posons dans un premier temps .
Sachant que , on peut en déduire que (inégalité triangulaire).
D’où .
En partant de , on obtiendrait également qui peut aussi s’écrire .
En réunissant ces deux résultats, on obtient (C’est en fait la seconde inégalité triangulaire : ).
Comme , on a puis . Conservons uniquement , la minoration de .
Puis remarquons que pour peut s’écrire ou encore .
La minoration de obtenue précédemment permet d’obtenir la majoration .
En multipliant chaque membre de l’inégalité par on obtient :
.
Imposons, pour finir, que satisfasse également la contrainte , on a :
.
Donc peut être strictement inférieure à n’importe quel nombre réel , il suffit de prendre .
Autrement dit, la fonction inverse est continue sur son ensemble de définition.