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Triplets d’entiers pythagoriciens primitifs - Triangles Rectangles - Nombres Complexes - Non Semblables
Quelques triplets Pythagoriciens primitifs, triangles rectangles et nombres complexes non semblables.
Données
mardi 19 septembre 2006, par
Voici pour des exercices :
- des mesures de côtés de triangles rectangles non semblables c’est à dire pour lesquels il n’existe pas de similitude entre triangle triangle de la liste et dont les mesures des côtés sont des nombres entiers.
- cette liste peut aussi être utilisée pour générer des exercices sur des nombres complexes dont le module sont des entiers ou des décimaux.
- cette liste est un sous-ensemble des triplets Pythagoriciens.
Le triangle 3 4 5 n’est pas le seul triangle rectangle ayant des mesures entières, c’est simplement le plus facile à retenir mais aussi le premier d’une série de triangle. On peut obtenir d’autres triangles rectangles en multipliant les mesures 3 ; 4 et 5 des côtés par un même nombre, par exemple 1,5 : 4,5 ; 6 ; 7,5 ou par 2 : 6, 8, 10 ...
Attention, il ne faut pas en conclure que tout triangle rectangle ayant des mesures entières est obtenu à partir du triangle 3 4 5 !
Voici pour des exercices, des triangles rectangles non homothétiques, dont les mesures des côtés sont des nombres entiers :
Ils vérifient la relation
Exemples :
- Théorème de Pythagore
- Calculer la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés ont pour mesures 83,7 et 11,6 : Les calculs conduisent à 84,5. Les trois mesures sont obtenues en divisant chaque nombre du triplet (845, 837, 116) par 10.
- En changeant le facteur, on peut obtenir, un grand nombre d’exercices dont on maîtrise les résultats au niveau de la précision.
- Réciproque :
- Montrer que le triangle dont les côtés mesurent : 5,05 ; 3,77 et 3,36 est bien un triangle rectangle.
- Attention ! Ce n’est pas la réciproque qui permet de conclure en cas d’inégalité. C’est le théorème de Pythagore ou plus exactement sa contraposition. La réciproque permet de conclure uniquement en cas d’égalité.
- Nombres complexes :
- Calculez le module de
,
on obtient
- Calculez le module de
La liste ci-dessous a été obtenue à l’aide d’un programme informatique en Pascal. L’algorithme effectue une recherche pour obtenir
– un classement par ordre croissant de la plus grande valeur,
– en conservant uniquement les triplets constitués de nombres premiers entre eux.
a | b | c | - | a | b | c | - | a | b | c | - | a | b | c |
5 | 4 | 3 | 425 | 304 | 297 | 845 | 837 | 116 | 1229 | 1221 | 140 | |||
13 | 12 | 5 | 445 | 437 | 84 | 853 | 828 | 205 | 1237 | 1075 | 612 | |||
17 | 15 | 8 | 449 | 351 | 280 | 857 | 825 | 232 | 1241 | 1160 | 441 | |||
25 | 24 | 7 | 485 | 476 | 93 | 865 | 816 | 287 | 1249 | 960 | 799 | |||
29 | 21 | 20 | 493 | 468 | 155 | 881 | 800 | 369 | 1261 | 1140 | 539 | |||
37 | 35 | 12 | 493 | 475 | 132 | 901 | 780 | 451 | 1261 | 1189 | 420 | |||
53 | 45 | 28 | 505 | 377 | 336 | 905 | 663 | 616 | 1285 | 924 | 893 | |||
65 | 56 | 33 | 509 | 459 | 220 | 905 | 777 | 464 | 1285 | 1116 | 637 | |||
65 | 63 | 16 | 521 | 440 | 279 | 937 | 912 | 215 | 1289 | 1161 | 560 | |||
73 | 55 | 48 | 533 | 525 | 92 | 941 | 741 | 580 | 1297 | 1295 | 72 | |||
85 | 84 | 13 | 545 | 513 | 184 | 949 | 851 | 420 | 1313 | 1088 | 735 | |||
89 | 80 | 39 | 557 | 532 | 165 | 949 | 900 | 301 | 1313 | 1288 | 255 | |||
97 | 72 | 65 | 565 | 403 | 396 | 953 | 728 | 615 | 1345 | 1247 | 504 | |||
109 | 91 | 60 | 565 | 493 | 276 | 965 | 957 | 124 | 1361 | 1240 | 561 | |||
125 | 117 | 44 | 569 | 520 | 231 | 977 | 945 | 248 | 1369 | 1081 | 840 | |||
145 | 144 | 17 | 577 | 575 | 48 | 985 | 697 | 696 | 1373 | 1365 | 148 | |||
149 | 140 | 51 | 593 | 465 | 368 | 985 | 864 | 473 | 1381 | 1020 | 931 | |||
157 | 132 | 85 | 601 | 551 | 240 | 997 | 925 | 372 | 1385 | 1216 | 663 | |||
169 | 120 | 119 | 617 | 608 | 105 | 1009 | 840 | 559 | 1385 | 1353 | 296 | |||
173 | 165 | 52 | 625 | 527 | 336 | 1013 | 1012 | 45 | 1405 | 1333 | 444 | |||
185 | 176 | 57 | 629 | 460 | 429 | 1021 | 779 | 660 | 1409 | 1400 | 159 | |||
193 | 168 | 95 | 629 | 621 | 100 | 1025 | 897 | 496 | 1417 | 1175 | 792 | |||
205 | 187 | 84 | 641 | 609 | 200 | 1025 | 1023 | 64 | 1417 | 1392 | 265 | |||
221 | 171 | 140 | 685 | 667 | 156 | 1033 | 1015 | 192 | 1429 | 1380 | 371 | |||
221 | 220 | 21 | 685 | 684 | 37 | 1037 | 812 | 645 | 1433 | 1305 | 592 | |||
229 | 221 | 60 | 689 | 561 | 400 | 1037 | 988 | 315 | 1445 | 1364 | 477 | |||
233 | 208 | 105 | 689 | 680 | 111 | 1049 | 999 | 320 | 1453 | 1435 | 228 | |||
241 | 209 | 120 | 697 | 528 | 455 | 1061 | 861 | 620 | 1465 | 1127 | 936 | |||
257 | 255 | 32 | 697 | 672 | 185 | 1073 | 952 | 495 | 1465 | 1344 | 583 | |||
265 | 247 | 96 | 701 | 651 | 260 | 1073 | 975 | 448 | 1469 | 1269 | 740 | |||
269 | 260 | 69 | 709 | 660 | 259 | 1097 | 928 | 585 | 1469 | 1419 | 380 | |||
289 | 240 | 161 | 725 | 627 | 364 | 1105 | 817 | 744 | 1481 | 1120 | 969 | |||
293 | 285 | 68 | 725 | 644 | 333 | 1105 | 1073 | 264 | 1489 | 1320 | 689 | |||
305 | 273 | 136 | 733 | 725 | 108 | 1109 | 1100 | 141 | 1493 | 1395 | 532 | |||
313 | 312 | 25 | 745 | 624 | 407 | 1117 | 1092 | 235 | 1513 | 1225 | 888 | |||
317 | 308 | 75 | 745 | 713 | 216 | 1129 | 1080 | 329 | 1517 | 1292 | 795 | |||
325 | 253 | 204 | 757 | 595 | 468 | 1145 | 903 | 704 | 1517 | 1508 | 165 | |||
349 | 299 | 180 | 769 | 600 | 481 | 1145 | 1064 | 423 | 1525 | 1517 | 156 | |||
353 | 272 | 225 | 773 | 748 | 195 | 1153 | 1025 | 528 | 1537 | 1488 | 385 | |||
365 | 357 | 76 | 785 | 736 | 273 | 1157 | 868 | 765 | 1537 | 1505 | 312 | |||
373 | 275 | 252 | 785 | 783 | 56 | 1181 | 1131 | 340 | 1565 | 1173 | 1036 | |||
377 | 345 | 152 | 793 | 665 | 432 | 1189 | 989 | 660 | 1565 | 1323 | 836 | |||
377 | 352 | 135 | 793 | 775 | 168 | 1189 | 1020 | 611 | 1585 | 1224 | 1007 | |||
389 | 340 | 189 | 797 | 572 | 555 | 1193 | 855 | 832 | 1585 | 1457 | 624 | |||
397 | 325 | 228 | 809 | 759 | 280 | 1201 | 1200 | 49 | 1597 | 1428 | 715 | |||
401 | 399 | 40 | 821 | 700 | 429 | 1205 | 1107 | 476 | 1601 | 1599 | 80 | |||
409 | 391 | 120 | 841 | 840 | 41 | 1213 | 1188 | 245 | 1609 | 1591 | 240 | |||
421 | 420 | 29 | 845 | 836 | 123 | 1217 | 992 | 705 | 1613 | 1275 | 988 |