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Limite inférieure, limite supérieure et valeur d’adhérence d’une suite.

Preuve des relations entre ses trois notions.

mercredi 30 novembre 2016, par ScientificWare

Montrons que la limite inférieure d’une suite est la plus petite de ses valeurs d’adhérence.

Dans cette preuve, j’ai totalement bloqué plusieurs jours par $a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k+1}> x_q \geq a_{n_k+1}$ où $a_n=\displaystyle\inf_{p \geq n}\{u_p\}$ et est une suite réelle.
Je n’arrivais pas à établir l’inégalité $a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k+1}> x_q$ .
« Il y a sûrement quelque chose d’évident qui m’échappe ! »
Je savais que $a_{n_k +1}+\frac{1}{n_k +1}>a_{n_k +1}$ .
Mais impossible de trouver, dans l’énoncé, l’hypothèse sur qui me permettrait de placer une valeur de cette suite entre $a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k +1}$ et $a_{n_k +1}$ ?
Est-ce que converge vers $a_{n_k+1}$ ?
Dans ce cas ce serait évident mais rien ne me permettait d’établir cette convergence.
Finalement, comme pour chaque démonstration directe peu évidente, on arrive à la question « Que se passerait-il si ce n’était pas le cas ? ».
Mais Oui ! Je viens enfin de comprendre. Pourquoi ne pas tenter un raisonnement par l’absurde :
S’il n’existait pas tel que $a_{n_k+1}+\frac{1}{ n_k+1}>x_q$ avec $q \geq n$ cela voudrait dire que $\displaystyle\inf_{i \geq n_k+1}(x_i)=a_{n_k+1}+\frac{1}{ n_k+1}$ c’est à dire $a_{n_k+1}=a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k+1}$ ce qui est impossible.

Donc il existe tel que $a_{n_k+1}+\frac{1}{ n_k+1}>x_q$ avec $q \geq n$ .