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Continuité sur R.

Continuité de la fonction inverse.

mercredi 8 juin 2016, par ScientificWare

Soit $\varepsilon>0$ .
Posons dans un premier temps $|x-x_0|<\frac{|x_0|}{2}$ .
Sachant que , on peut en déduire que $|x| \leq |x-x_0|+|x_0|$ (inégalité triangulaire).
D’où $|x|-|x_0|\leq|x-x_0|$ .
En partant de , on obtiendrait également $|x_0|-|x| \leq |x-x_0|$ qui peut aussi s’écrire $-|x-x_0| \leq |x|-|x_0|$ .
En réunissant ces deux résultats, on obtient $-|x-x_0| \leq |x|-|x_0| \leq |x-x_0|$ (C’est en fait la seconde inégalité triangulaire : $\left|{ |x|-|x_0|} \right| \leq |x-x_0|$ ).
Comme $|x-x_0|<\frac{|x_0|}{2}$ , on a $-\frac{|x_0|}{2} \leq |x|-|x_0| \leq \frac{|x_0|}{2}$ puis $\frac{|x_0|}{2} \leq |x| \leq \frac{3|x_0|}{2}$ . Conservons uniquement $\frac{|x_0|}{2} \leq |x|$ , la minoration de .

Puis remarquons que pour $x \neq 0, x_0 \neq 0, \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|$ peut s’écrire $\left|\frac{x_0-x}{x \times x_0}\right|$ ou encore $\frac{1}{|x| \times |x_0|}|x-x_0|$ .
La minoration de obtenue précédemment permet d’obtenir la majoration $\frac{1}{|x|} \leq \frac{2}{|x_0|}$ .
En multipliant chaque membre de l’inégalité par $\frac{1}{|x_0|}|x-x_0|$ on obtient :
$\frac{1}{|x| \times |x_0|}|x-x_0| \leq \frac{2}{|x_0|^2}|x-x_0|$ .

Imposons, pour finir, que satisfasse également la contrainte $|x-x_0|< \frac{|x_0|^2}{2} \times \varepsilon$ , on a :
$\frac{1}{|x| \times |x_0|}|x-x_0| < \varepsilon$ .

Donc $\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|$ peut être strictement inférieure à n’importe quel nombre réel $\varepsilon>0$ , il suffit de prendre $|x-x_0|<min \left\{\frac{|x_0|}{2},\frac{|x_0|^2}{2} \times \varepsilon \right\}$ .
Autrement dit, la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur son ensemble de définition.