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Relation différentielle et dérivée.

Dans le cadre d’une preuve du théorème des accroissements finis.

mardi 16 août 2016, par ScientificWare

Dans beaucoup de démonstrations, ce passage n’est pas explicité. Pourtant, il est loin d’être évident ! De quoi s’agit-il ?
Soit f ~: E \rightarrow \mathbb{R}.
Soit k ~: \[0~;1\] \rightarrow E avec k(x)=a+x\times(b-a) et a\in E, b\in E.
Soit F=f \circ k, on a bien F ~: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
Il s’agit d’établir que F^\prime(x)={\rm d}_{a+x(b-a)}f(b-a).
Rappel : F^\prime(x) \times h={\rm d}_{x}F(h) où h\neq 0. C’est justement ce que je savais, d’où mon étonnement de ne pas voir h dans l’expression F^\prime(x)={\rm d}_{a+x(b-a)}f(b-a). Dans la démonstration que j’avais, ce résultat était donné comme évident ! Aurais-je loupé une partie du cours de calcul différentiel ? En fait, non. Il suffit de détailler quelques étapes.
D’abord puisque F est une fonction composée, nous pouvons expliciter sa différentielle dans le second membre de l’égalité. On obtient :
F^\prime(x) \times h=({\rm d}_{k(x)}f\circ{\rm d}_x k)(h)
Or {\rm d}_x k(h)=(b-a)\times h avec h\in\mathbb{R} et (b-a)\in E.
D’où F^\prime(x) \times h={\rm d}_{a+x\times(b-a)}f((b-a)\times h)
D’autre part, {\rm d}_{k(x)}f est une application linéaire donc nous pouvons appliquer cette linéarité au second membre de l’expression précédente :
F^\prime(x) \times h=({\rm d}_{a+x\times(b-a)}f(b-a))\times h.
Pour finir, puisque h\neq 0, nous pouvons simplifier par h ou prendre h=1 pour obtenir le résultat attendu :
F^\prime(x)={\rm d}_{a+x(b-a)}f(b-a).
La difficulté de cette démonstration, c’est de se rappeler à quels ensembles appartiennent les valeurs utilisées.
Attention, tout ceci n’est possible que parce que h est un réel et c’est utilisant la linéarité de la différentielle que l’on peut le sortir et procéder à la simplification. Si h n’était pas un réel, nous serions bloqués.
Sans doute devrais-je toujours garder à l’esprit que pour une fonction F ~: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F^\prime(x) \times h={\rm d}_{x}F(h) signifie que F^\prime(x) \times 1={\rm d}_{x}F(1) c’est à dire F^\prime(x)={\rm d}_{x}F(1)