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Agrégation de mathématiques

dimanche 12 janvier 2014, par ScientificWare

Vendredi 10 janvier 2014, j’ai reçu ma convocation pour les deux épreuves de mathématiques et je ne suis absolument pas prêt. En ressortant un livre pour réviser, je me suis aperçu que le cours de l’auteur n’était pas parfait et ne permettait pas de résoudre les problèmes pourtant très simples qu’il posait. Ce blocage date de 2000 et par manque de temps j’avais renoncé. Les bases d’un cours sont fondamentales, en particulier les définitions doivent constructives et prendre en compte toutes les extensions futures. Autres exemples, j’ai buté assez longtemps en licence sur la définition d’un nombre premier. La définition habituelle dans l’ensemble des entiers et celle vue dans les anneaux ne correspondaient pas. C’est sur le site lesmathematiques.net qu’est venu la définition me permettant de faire enfin le lien, je ne suis pas devenu meilleur en maths pour autant, mais l’unification de mes connaissances progresse. De même les notions d’angles, de cosinus, de sinus mal présentées au collège et au lycée se précisent. La place des nombres complexes s’affirme et s’insère bien avec mes connaissances de Lycée et de Collège. L’algèbre linéaire et le calcul matriciel sont parfaitement unis. Il me reste encore des notions simples à maitriser comme certains objets géométriques.

Voici le fameux problème : Prouver que $(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow p)$

En 2000 la solution de l’auteur ne me satisfaisait pas et c’est en 2014 que j’arrive enfin à une démonstration qui me plaît. Rien de bien difficile, si j’avais trouvé ceci dans son cours :
Premièrement : $(p \Rightarrow q)$ est une abréviation pour $(non p \lor q)$ .
Deuxièmement : $(p \Leftrightarrow q)$ est une abréviation pour $((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p))$

Malheureusement rien tout cela ! À la place, on trouvait les habituelles tables de vérité utilisées pour définir l’implication et l’équivalence. Elles sont utiles mais sans ce qui précède, elles ne servent à rien.

		$p \land q$	$p \lor q$	$non p \lor q$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$	$p \Leftrightarrow q$
V	V	V	V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	V	F	F	F
F	F	F	F	V	V	V	V	V

Beaucoup de temps perdu pour si peu !

Preuve de la transitivité de l’implication :
Prouver que $((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$
Notons cette proposition $A=((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$
Elle s’écrit $A=non((nonp \lor q) \land (nonq \lor r)) \lor (nonp \lor r)$
ou encore : $A=(non(nonp \lor q) \lor non(nonq \lor r)) \lor (nonp \lor r)$
Puis $A=((p \land nonq) \lor (q \land nonr)) \lor (nonp \lor r)$
En utilisant l’associativité de la conjonction, on a : $A=(p \land nonq) \lor (q \land nonr) \lor nonp \lor r$
et : $A=(p \land nonq) \lor nonp \lor (q \land nonr) \lor r$
en distribuant on obtient : $A=((p \lor nonp) \land (nonq \lor nonp)) \lor ((q \lor r) \land (nonr \lor r))$
Puis : $A=(nonq \lor nonp) \lor (q \lor r)$
En particulier : $A=(nonq \lor q) \lor nonp\lor r$
Autrement dit, A est toujours vraie.