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Matrices orthogonales ou unitaires, produit scalaire et norme.

Les matrices orthogonales et unitaires préservent le produit scalaire et sa norme associée.

jeudi 18 août 2016, par ScientificWare

Encore une fois, beaucoup trop de temps à chercher une démonstration assez facile à établir.

Soient deux matrices colonnes, une matrice orthogonale ou unitaire. Il faut établir que :
$\langle U\times X|U \times Y\rangle = \langle X | Y\rangle$

Preuve : Dans le cas où nous sommes dans un $\mathbb C$ -EV.
Le produit scalaire peut s’écrire sous la forme d’un produit matriciel :
$\langle U\times X|U \times Y\rangle = \left( U\times Y\right)^* \times U \times X$
Attention, contrairement à un ${\mathbb R}$ -EV, l’ordre à son importance.
$\langle U\times X|U \times Y\rangle = Y^*\times U^* \times U \times X$
Par définition d’une matrice unitaire, on a : $U^* \times U=I$ .
Donc $\langle U\times X|U \times Y\rangle = Y^*\times X$
Et finalement, $\langle U\times X|U \times Y\rangle = \langle X | Y\rangle$

Pour une matrice orthogonale la preuve serait identique.