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Roulement sans glissement.
Comment interpréter l’hypothèse "Rouler sans glisser" ?
dimanche 28 août 2016, par
.
Objectif : Montrer que pour tout point de coordonnées polaires appartenant à une cardioïde .
Je soumets ici ma réflexion aux regards de ceux qui pourraient apporter des corrections ou des simplifications. Car il est possible que je sois passé à côté de quelque chose de plus simple.
"Rouler sans glisser" !
J’avais et j’ai passé beaucoup de temps à essayer d’interpréter cette hypothèse qui pour moi n’avait rien d’évidente. Après quelques semaines de réflexion et finalement 4 jours en août, je me suis rappelé que cette notion devait être définie dans le cours de mécanique :
On fait intervenir la vitesse de glissement d’une surface sur une autre relativement à un référentiel .
Elle est définie par .
et sont respectivement les points de et en contact, et leur vitesse dans .
Si , il n’y a pas glissement sinon, il y a glissement.
Pour travailler, j’ai besoin de deux référentiels, et avec deux bases unitaires directes.
Le cercle immobile est de centre , lui est associé.
Le cercle qui roule est de centre , lui est associé.
En coordonnées polaires et
(Ensuite dire que le cercle cercle roule sur ne me parait pas suffisant, je rajoute qu’il doit avoir une vitesse angulaire constante. [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante]).
C’est à dire constant [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante].
Puisqu’il n’y a pas glissement et que est immobile est équivalent à .
En dérivant dans chaque membre de , on arrive à l’égalité :
.
Autement dit, la vitesse angulaire de dans est aussi constante [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante].
Voilà, c’est le résultat que me manquait.
Ensuite, je reprends comme dans la correction.
En notant avec leur affixe dans , nous obtenons :
, est introduit simplement pour respecter les conditions initiales à .
puisque .
Mais on peut également écrire .
On factorise le second membre par pour obtenir :
car
Par identification et .
Qu’en pensez-vous ?