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Roulement sans glissement.
Comment interpréter l’hypothèse "Rouler sans glisser" ?
dimanche 28 août 2016, par
.
Objectif : Montrer que pour tout point de coordonnées polaires
appartenant à une cardioïde
.
Je soumets ici ma réflexion aux regards de ceux qui pourraient apporter des corrections ou des simplifications. Car il est possible que je sois passé à côté de quelque chose de plus simple.
"Rouler sans glisser" !
J’avais et j’ai passé beaucoup de temps à essayer d’interpréter cette hypothèse qui pour moi n’avait rien d’évidente. Après quelques semaines de réflexion et finalement 4 jours en août, je me suis rappelé que cette notion devait être définie dans le cours de mécanique :
On fait intervenir la vitesse de glissement d’une surface
sur une autre
relativement à un référentiel
.
Elle est définie par .
et
sont respectivement les points de
et
en contact,
et
leur vitesse dans
.
Si , il n’y a pas glissement sinon, il y a glissement.
Pour travailler, j’ai besoin de deux référentiels, et
avec deux bases unitaires directes.
Le cercle immobile est de centre
,
lui est associé.
Le cercle qui roule est de centre
,
lui est associé.
En coordonnées polaires et
(Ensuite dire que le cercle cercle roule sur
ne me parait pas suffisant, je rajoute qu’il doit avoir une vitesse angulaire constante. [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante]).
C’est à dire constant [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante].
Puisqu’il n’y a pas glissement et que est immobile
est équivalent à
.
En dérivant dans chaque membre de
, on arrive à l’égalité :
.
Autement dit, la vitesse angulaire de dans
est aussi constante [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante].
Voilà, c’est le résultat que me manquait.
Ensuite, je reprends comme dans la correction.
En notant avec leur affixe dans
, nous obtenons :
,
est introduit simplement pour respecter les conditions initiales à
.
puisque
.
Mais on peut également écrire .
On factorise le second membre par pour obtenir :
car
Par identification et
.
Qu’en pensez-vous ?