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Continuité sur R² !

Continuités d’une fonction produit et quotient !

lundi 18 décembre 2006, par ScientificWare

Bonjour ! Souvent dans les exercices, la continuité des fonctions hors points litigieux est expédiée avec l’expression : « continue car composée de fonctions continues ».

La continuité des fonctions de base du type (x,y) \mapsto x \times y ou (x,y) \mapsto \frac{x}{y} n’est pas toujours établie.

Comment prouver la continuité de la fonction (x,y) \mapsto x \times y et (x,y) \mapsto \frac{x}{y} ?

Je recherche justement la démonstration utilisant la définition de la continuité.

Montrons que la fonction p~:(x,y) \mapsto x\times y est continue sur  \mathbb{R}^2

Je cherche à donc à prouver qu’il existe bien  \eta \in \mathbb{R}^{* +} tel que :  \Vert(x,y)-(x_0,y_0)\Vert \leq \eta entraîne  \vert p(x,y)-p(x_0,y_0)\vert \leq \varepsilon,  \varepsilon \in \mathbb{R}^{* +}, (x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2

Posons  \alpha = \vert x\times y - x_0 \times y_0\vert et Montrons que  \alpha<\varepsilon (1)

 \alpha= \vert x\times y - x_0 \times y + x_0 \times y-x_0 \times y_0\vert  \alpha \leq \vert y\vert\times \vert x-x_0\vert + \vert x_0\vert\times \vert y-y_0\vert (inégalité triangulaire)

D’autre part puisque dans un espace de dimension finie (ici 2) toutes les normes sont équivalentes, on peut choisir la norme  \Vert (x,y) \Vert = \max\{\vert x\vert,\vert y\vert\}

Posons dans un premier temps :  \Vert(x,x_0)-(y,y_0)\Vert < \vert y_0\vert.

On a en particulier  \vert y-y_0\vert<\vert y_0\vert

d’où  \vert y\vert<2\vert y_0\vert

Ainsi  \alpha < 2\vert y_0\vert\times \vert x-x_0\vert+\vert x_0\vert\times \vert y-y_0\vert

ou encore  \alpha < (2\vert y_0\vert+\vert x_0\vert) max\left\{\vert x-x_0\vert,\vert y-y_0\vert \right\}

C’est à dire  \alpha < (2\vert y_0\vert+\vert x_0\vert) \Vert(x,x_0)-(y,y_0)\Vert

Pour obtenir (1), il suffit de prendre  \eta < min \left\{\vert y_0\vert,\frac{\varepsilon}{2\vert y_0\vert+\vert x_0\vert} \right\}.

Montrons que la fonction (x,y) \mapsto \frac{x}{y} est continue sur  \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*.

Je cherche à prouver que pour cette fonction appelons la f, il existe bien \eta \in \R^{* +} tel que \|(x,y)-(x_0,y_0)\| \leq \eta entraîne |f(x,y)-f(x_0,y_0)| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \R^{* +}, (x_0,y_0) \neq (m,0).

Autrement dit, comment démontrer que :  \left\vert \frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0} \right\vert \leq \varepsilon ? (2)

Si vraiment, tu veux mettre les mains dans le cambouis, il n’y a qu’à y aller :

 \frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0} = \frac{x}{y}-\frac{x_0}{y} + \frac{x_0}{y}-\frac{x_0}{y_0} = \frac{x-x_0}{y}-\frac{x_0}{yy_0}(y-y_0)

En prenant les valeurs absolues et en majorant :  \left\vert \frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0} \right\vert \leq \left\vert \frac{x-x_0}{y}\right\vert + \left\vert \frac{x_0}{yy_0}\right\vert . \vert y-y_0\vert

On sait que  y,y_0 \neq 0.

D’autre part puisque dans un espace de dimension finie (ici 2) toutes les normes sont équivalentes, on peut choisir la norme  \Vert M \Vert = \max(x_M,y_M).

Posons dans un premier temps :  \Vert(x,y)-(x_0,y_0)\Vert \leq \frac{\vert y_0\vert}{2}.

En particulier on a :  \vert y-y_0\vert<\frac{\vert y_0\vert}{2},

ce qui conduit à :  \left\vert \vert y \vert - \vert y_0\vert\right\vert \leq\vert y-y_0\vert<\frac{\vert y_0\vert}{2} (deuxième inégalité triangulaire)

puis à  \vert y_0 \vert -\frac{\vert y_0\vert}{2}<y<\vert y_0 \vert+\frac{\vert y_0\vert}{2}

et finalement :  \vert y\vert>\frac{\vert y_0\vert}{2}.

On pose ensuite  \alpha = \frac{\vert y_0\vert}{2}
donc  \vert y\vert, est minoré par un  \alpha > 0, qui ne dépend que de  y_0.

Ton second membre est donc majoré par :  \frac{1}{\alpha}\vert x-x_0\vert +  \frac{1}{\alpha} \left\vert \frac{x_0}{y_0}\right\vert . \vert y-y_0\vert \leq \frac{1}{\alpha} \left(1+\left\vert \frac{x_0}{y_0}\right\vert\right) \Vert(x,y) - (x_0,y_0) \Vert

Pour obtenir (2), il suffit de prendre  \eta < min \left\{\frac{\vert y_0\vert}{2}~;\frac{\varepsilon}{\frac{1}{\alpha} \left(1+\left\vert \frac{x_0}{y_0}\right\vert\right)}\right\}