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Recherche de l’équation d’une droite (2)

vendredi 9 mai 2008, par ScientificWare

Utilisation du déterminant.

Aujourd’hui notre deuxième article portera sur la recherche d’une équation de droite passant également par les deux points et (voir article 1) . Le précédent article utilisait les systèmes d’équations. Nous allons à présent employer le déterminant de deux vecteurs.

Supposons que le point appartienne à la droite . On peut immédiatement en déduire que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.

Ce qui se traduit par $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM})=0$ .

$\overrightarrow{AB} \[\left(~!~!~! \begin{array}{c} -7-2 \\ 8-6 \end{array} ~!~!~!\right)$ d’où $\overrightarrow{AB} \[\left(~!~!~! \begin{array}{c} -9 \\ 2 \end{array} ~!~!~!\right)$ et $\overrightarrow{AM} \[\left(~!~!~! \begin{array}{c} x-2 \\ y-6 \end{array} ~!~!~!\right)$ .

Calculons le déterminant de ces deux vecteurs.

$\det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = \left|\begin{array}{cc} - 9 & x - 2\\ 2 & y - 6 \end{array}\right|$

Soit : $\det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = - 9 \times (y - 6) - 2 \times (x - 2)$

En développant $\det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = - 9 y + 54 - 2 x + 4$

Après réduction $\det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = - 2 x - 9 y + 58$

L’équation $\det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = 0$ s’écrit donc :

L’équation recherchée est donc (comme dans le premier article). A bientôt pour un nouvel article ! ----