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Recherche de l’équation d’une droite (2)

vendredi 9 mai 2008, par ScientificWare

Utilisation du déterminant.

Aujourd’hui notre deuxième article portera sur la recherche d’une équation de droite passant également par les deux points A(2 ;6) et B(-7 ;8)(voir article 1) . Le précédent article utilisait les systèmes d’équations. Nous allons à présent employer le déterminant de deux vecteurs.

Supposons que le point M(x ;y) appartienne à la droite (A,B). On peut immédiatement en déduire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires.

Ce qui se traduit par det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM})=0.

\overrightarrow{AB} [\left(~!~!~!  \begin{array}{c} -7-2 \\ 8-6 \end{array} ~!~!~!\right) d’où \overrightarrow{AB} [\left(~!~!~!  \begin{array}{c} -9 \\ 2 \end{array} ~!~!~!\right)et \overrightarrow{AM} [\left(~!~!~!  \begin{array}{c} x-2 \\ y-6 \end{array} ~!~!~!\right).

Calculons le déterminant de ces deux vecteurs.

\det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}} \right) =
\left|\begin{array}{cc}
  - 9 & x - 2\\
  2 & y - 6
\end{array}\right|

Soit : \det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ; \overrightarrow{\tmop{AM}}
\right) = - 9 \times (y - 6) - 2 \times (x - 2)

En développant \det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ;
\overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = - 9 y + 54 - 2 x + 4

Après réduction \det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ;
\overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = - 2 x - 9 y + 58

L’équation \det \left( \overrightarrow{\tmop{AB}} ;
\overrightarrow{\tmop{AM}} \right) = 0 s’écrit donc :

- 2 x - 9 y + 58 = 0

L’équation recherchée est donc - 2 x - 9 y + 58 = 0 (comme dans le premier article). A bientôt pour un nouvel article ! ----